Model Blacka-Scholesa: wzór do wyceny opcji

Model Blacka-Scholesa jest powszechnie używany do obliczania teoretycznej ceny kontraktu opcyjnego na podstawie wzoru matematycznego. W modelu Blacka-Scholesa wykorzystuje się cenę instrumentu bazowego, oczekiwane dywidendy, cenę wykonania opcji, oczekiwaną stopę procentową, czas pozostały do wygaśnięcia opcji oraz oczekiwaną zmienność.

W artykule wyjaśniamy zastosowanie modelu Blacka-Scholesa oraz pokazujemy wykorzystanie wzoru na praktycznym przykładzie. Jeśli szukasz brokera opcji, kliknij tutaj.

Czym jest model Blacka-Scholesa?

Model Blacka-Scholesa to matematyczny model rynku finansowego instrumentów pochodnych. Terminy “Black” i “Scholes” odnoszą się do trzech koncepcji w matematyce finansowej: modelu Blacka-Scholesa, równania różniczkowego Blacka-Scholesa oraz pochodzącego z tego równania wzór Blacka-Scholesa. Te koncepcje zostały opracowane w 1973 roku przez naukowców Fischera Blacka i Myrona Scholesa.  

Z równania różniczkowego modelu można wyprowadzić wzór Blacka-Scholesa, który jest stosowany do obliczenia teoretycznej ceny opcji europejskich. Model Blacka-Scholesa pokazuje, że opcja ma unikalną cenę powiązaną z oczekiwanym przychodem oraz ryzykiem danego papieru wartościowego. 

W późniejszym czasie model Blacka-Scholesa został rozwinięty przez Roberta C. Mertona, dlatego czasami określa się go jako model Blacka-Scholesa-Mertona (BSM). Kiedy Fisher Black już nie żył, Myron Scholes otrzymał w 1997 roku nagrodę Nobla w dziedzinie ekonomii za wspólną pracę obu naukowców.

Założenia modelu Blacka-Scholesa 

Model Blacka-Scholesa zakłada, że rynek składa się przynajmniej z jednego aktywa ryzykownego (zazwyczaj akcji) a także z jednego aktywa bez ryzyka (gotówki lub obligacji państwowych). 

Dla aktywa ryzykownego obowiązują następujące założenia: : 

Dla aktywa bez ryzyka (gotówki lub obligacji państwowych) obowiązują następujące założenia: 

Przy użyciu powyższych założeń modelu Blacka – Scholesa pokazano, że można stworzyć zabezpieczoną pozycję dla opcji CALL i PUT typu europejskiego. Zabezpieczenie to polega na zajęciu długiej pozycji akcyjnej i krótkiej pozycji opcyjnej, której wartość nie będzie zależała od ceny akcji. 

Powyższa dynamiczna strategia zabezpieczająca doprowadziła do powstania równania różniczkowego określającego cenę opcji. To właśnie z tego równania wywodzi się wzór Blacka-Scholesa. 

Wycena opcji na podstawie wzoru Blacka-Scholesa 

Wzór Blacka-Scholesa wykorzystuje ceny instrumentu bazowego, cenę wykonania opcji, czas, zmienność i oczekiwaną stopę procentową do obliczenia ceny opcji Oczekiwana zmienność użyta we wzorze nie pochodzi bezpośrednio z rynku, ale zazwyczaj jest obliczana na podstawie cen innych opcji. Poniżej krótko wyjaśnimy wzór. 

W czym model Blacka-Scholesa może pomóc inwestorom opcyjnym?

Obecnie, wycena opcji jest prowadzona elektronicznie. Ceny opcji są ustalane na podstawie modelu Blacka-Scholesa. Algorytmy w sposób ciągły obliczają wartość opcji na podstawie kilku zmiennych. To dzięki temu handel opcjami stał się przejrzysty i dostępny dla indywidualnych inwestorów.  

Główną ideą tego modelu jest zabezpieczenie opcji poprzez zakup i sprzedaż aktywów bazowych w odpowiedniej ilości, co ogranicza czy nawet eliminuje ryzyko. Ten rodzaj zabezpieczenia nazywa się “dynamicznym zabezpieczeniem delta” i stanowi podstawę bardziej skomplikowanych strategii zabezpieczających. Złożone strategie tego typu są zazwyczaj realizowane przez duże banki inwestycyjne oraz fundusze hedgingowe. 

Przeczytaj także:

Strategie opcyjne: spread kalendarzowy

Strategia opcyjna Collar: zabezpieczaj pozycje na akcjach przy pomocy opcji

Czym jest gamma squeeze? Analiza wpływu na short squeeze akcji GameStop. 

Opcje na SPY: fundusz ETF SPDR S&P 500

Źródła użyte w artykule:

BLEKEMOLEN, J. Black-Scholes model: formule voor de waardering van opties. LYNX [online]. Opublikowano 21. 6. 2022 [cit. 30. 8. 2022]. Artykuł znajduje się tutaj.