Model Blacka-Scholesa: wzór do wyceny opcji

Autor: Dawid Małota
Model Blacka-Scholesa jest powszechnie używany do obliczania teoretycznej ceny kontraktu opcyjnego na podstawie wzoru matematycznego. W modelu Blacka-Scholesa wykorzystuje się cenę instrumentu bazowego, oczekiwane dywidendy, cenę wykonania opcji, oczekiwaną stopę procentową, czas pozostały do wygaśnięcia opcji oraz oczekiwaną zmienność.

W artykule wyjaśniamy zastosowanie modelu Blacka-Scholesa oraz pokazujemy wykorzystanie wzoru na praktycznym przykładzie. Jeśli szukasz brokera opcji, kliknij tutaj.

Czym jest model Blacka-Scholesa?

Model Blacka-Scholesa to matematyczny model rynku finansowego instrumentów pochodnych. Terminy “Black” i “Scholes” odnoszą się do trzech koncepcji w matematyce finansowej: modelu Blacka-Scholesa, równania różniczkowego Blacka-Scholesa oraz pochodzącego z tego równania wzór Blacka-Scholesa. Te koncepcje zostały opracowane w 1973 roku przez naukowców Fischera Blacka i Myrona Scholesa.  

Z równania różniczkowego modelu można wyprowadzić wzór Blacka-Scholesa, który jest stosowany do obliczenia teoretycznej ceny opcji europejskich. Model Blacka-Scholesa pokazuje, że opcja ma unikalną cenę powiązaną z oczekiwanym przychodem oraz ryzykiem danego papieru wartościowego. 

W późniejszym czasie model Blacka-Scholesa został rozwinięty przez Roberta C. Mertona, dlatego czasami określa się go jako model Blacka-Scholesa-Mertona (BSM). Kiedy Fisher Black już nie żył, Myron Scholes otrzymał w 1997 roku nagrodę Nobla w dziedzinie ekonomii za wspólną pracę obu naukowców.

Założenia modelu Blacka-Scholesa 

Model Blacka-Scholesa zakłada, że rynek składa się przynajmniej z jednego aktywa ryzykownego (zazwyczaj akcji) a także z jednego aktywa bez ryzyka (gotówki lub obligacji państwowych). 

Dla aktywa ryzykownego obowiązują następujące założenia: : 

  • Aktywo wykazuje proces stochastyczny. Oznacza to, że musi spełniać wymagania teorii losowego ruchu (geometryczny ruch Browna – GBM).  
  • Emitent wybranej akcji nie wypłaca dywidendy.
  • Dany instrument pochodny jest typu europejskiego, czyli istnieje tylko jeden moment, w którym może dojść do realizacji (rozliczenia).

Dla aktywa bez ryzyka (gotówki lub obligacji państwowych) obowiązują następujące założenia: 

  • Pieniądze można pożyczać po tej samej ciągłej stopie procentowej składanej, która pozostaje stała w czasie. 
  • Można kupować i sprzedawać akcje w dowolnej ilości bez opłat transakcyjnych.  
  • Rynek nie ma możliwości arbitrażu.   

Przy użyciu powyższych założeń modelu Blacka – Scholesa pokazano, że można stworzyć zabezpieczoną pozycję dla opcji CALL i PUT typu europejskiego. Zabezpieczenie to polega na zajęciu długiej pozycji akcyjnej i krótkiej pozycji opcyjnej, której wartość nie będzie zależała od ceny akcji. 

Powyższa dynamiczna strategia zabezpieczająca doprowadziła do powstania równania różniczkowego określającego cenę opcji. To właśnie z tego równania wywodzi się wzór Blacka-Scholesa. 

Wycena opcji na podstawie wzoru Blacka-Scholesa 

Wzór Blacka-Scholesa wykorzystuje ceny instrumentu bazowego, cenę wykonania opcji, czas, zmienność i oczekiwaną stopę procentową do obliczenia ceny opcji Oczekiwana zmienność użyta we wzorze nie pochodzi bezpośrednio z rynku, ale zazwyczaj jest obliczana na podstawie cen innych opcji. Poniżej krótko wyjaśnimy wzór. 

Wzór Blacka-Scholesa do obliczenia ceny opcji
  • C = cena opcji 
  • N = funkcja dystrybucji rozkładu normalnego   
  • St = cena bieżąca aktywa  
  • K = cena wykonania  
  • r = stopa oprocentowania bez ryzyka  
  • t = okres do wygaśnięcia opcji
  • σ = zmienność aktywa bazowego 

W czym model Blacka-Scholesa może pomóc inwestorom opcyjnym?

Obecnie, wycena opcji jest prowadzona elektronicznie. Ceny opcji są ustalane na podstawie modelu Blacka-Scholesa. Algorytmy w sposób ciągły obliczają wartość opcji na podstawie kilku zmiennych. To dzięki temu handel opcjami stał się przejrzysty i dostępny dla indywidualnych inwestorów.  

Główną ideą tego modelu jest zabezpieczenie opcji poprzez zakup i sprzedaż aktywów bazowych w odpowiedniej ilości, co ogranicza czy nawet eliminuje ryzyko. Ten rodzaj zabezpieczenia nazywa się “dynamicznym zabezpieczeniem delta” i stanowi podstawę bardziej skomplikowanych strategii zabezpieczających. Złożone strategie tego typu są zazwyczaj realizowane przez duże banki inwestycyjne oraz fundusze hedgingowe. 

Przeczytaj także:

Źródła użyte w artykule:

BLEKEMOLEN, J. Black-Scholes model: formule voor de waardering van opties. LYNX [online]. Opublikowano 21. 6. 2022 [cit. 30. 8. 2022]. Artykuł znajduje się tutaj.

Kaikki optioista

Zarabiaj na spadkach cen

Giełda nie zawsze idzie w górę. Często zdarzają się okresy zwiększonej zmienności i spadających cen. Oprócz kupowania akcji, rachunek inwestycyjny za pośrednictwem LYNX pozwoli Ci również spekulować na spadkach i otwierać krótkie pozycje (short selling). Dowiedz się więcej na naszej stronie internetowej: Krótka Sprzedaż